Evaluarea nationala

Simulare

Modele subiecte

Subiecte si bareme

Bacalaureat

Sinteze

Simulare

Modele subiecte

Subiecte si bareme

Admitere Universitatea Politehnica Bucuresti (UPB)

Modele subiecte

Subiecte si bareme

Admitere Universitatea Bucuresti (UB)

Subiecte si bareme

Impartaseste cu Social Media

Einstein

Istoria matematicii

Fibonacci

 Leonardo Fibonacci (n. 1170 - d. 1250 )  a fost un matematician italian considerat de unii drept "cel mai talentat matematician din Occidentul Evului Mediu" .

Meritul major al lui Fibonacci consta in introducerea sistemului de numarare arab, in Europa, publicand spre sfarsitul secolului XIII-lea cartea sa "Liber Abaci ". El a recunoscut astfel superioritatea sistemului de numeratie arab fata de cel roman.

A folosit un sir de numere, pe care se pare ca nu l-a descoperit, dar care i-a purtat ulteror numele (sirul lui Fibonacci).

A interpretat numerele negative si le-a introdus in algebra.

Un alt merit incontestabil al lui Fibonacci  este acela de a fi introdus aritmetica in sistemul comercial european, el folosind frecvent, in scrierile sale, procedee de aritmetica comerciala.



Algebra - clasa IX


Se poate spune ca istoria algebrei incepe in vechiul Egipt si in Babilon unde oamenii invatau sa rezolve ecuatii liniare si ecuatii patratice (de gradul doi ). Babilonienii rezolvau ecuatiile patratice prin aceleasi metode prin care le rezolvam si astazi. Aceștia au dezvoltat un sistem aritmetic avansat, lucru vizibil mai ales în modalitatea algoritmica de a efectua calculele. Ei au dedus formule pentru rezolvarea ecuatiilor liniare si patratice precum și a celor liniare cu mai multe variabile.

Matematicienii elenisti Heron din Alexandria si Diofant  ca de altfel și matematicianul indian Brahmaputra au continuat traditiile egiptene si babiloniene dar la un nivel mai inalt, acesta din urma dand prima solutie completa a unor ecuatii patratice in care apar si solutii negative. Mai târziu, matematicienii arabi și musulmani au dezvoltat metode algebrice mult mai sofisticate. 

Alege mai jos tema care te intereseaza iar pentru contact aici. Nu uita respectarea algoritmului:fixare, exersare, aprofundare, excelenta si performanta!


Multimea numerelor intregi (OJ)

Ecuatii in numere intregi (OJ)

Teorema impartirii cu rest. Algoritmul lui Euclid (OJ)

Congruente modulo n. Teoremele Fermat si Wilson (OJ)

Multimea numerelor reale

Operatii algebrice cu numere reale (2, 3, 4)

Ordonarea numerelor reale- Inegalitati (2, 3, 4)

Inegalitatea mediilor (OJ)

Inegalitatea Cauchy- Buniakowvsky(OJ)

Inegalitatea lui Bernoulli (OJ)

Inegalitatea lui Cebasev (OJ)

Modulul unui numar real (2,3,4)

Aproximari prin lipsa si prin adaos (2,3,4)

Partea intreaga si partea fractionara (4)

Operatii cu intervale de numere reale (2,3,4)

Propoziţie, predicat, cuantificatori. Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie,disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operatiile şi relaţiile cu multimi (complementara, intersectie, reuniune, incluziune, egalitate, regulile lui De Morgan);rationament prin reducere la absurd

Inductia matematica

Probleme de numarare

Siruri

Modalitati de a defini un sir, siruri marginite, siruri monotone

Recurente liniare de ordinul I şi II (OJ)

Siruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general in functie de un termen dat si ratie, suma primilor n termeni ai unei progresii

Condita ca n numere sa fie în progresie aritmetica sau geometrica pentru n ≥ 3

Functii - lecturi grafice

Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau y = m, cu m∈R

Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi dea descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea şi preimaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

Funcţii numerice (F = { f :D→R D ⊆ R}); reprezentarea geometrică a graficului,: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f (x) = g (x) (≤,<, >,≥); proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x = m, m∈R , periodicitate

Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

Funcţia de gradul I

Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei f :R→R, f (x) = ax + b,unde a,b∈R, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0

Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) − f (x2 ) (sau prin studierea semnului raportului [f (x1) − f (x2 )]/(x1 - x2) , x1, x2∈R , x1 ≠ x2 )

Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0 (≥, <, >) studiate pe R sau pe intervale de numere reale

Pozitia relativa a doua drepte, sisteme de ecuatii de tipul ax + by = c si mx + ny = p , a, b, c, m, n, p numere reale

Sisteme de inecuatii de gradul I

Functia de gradul II

Reprezentarea grafica a funcţiei f :R→R, f (x) = ax2 + bx + c, cu a,b,c∈R şi a ≠ 0 , intersectia graficului cu axele de coordonate, ecuatia f (x) = 0, simetria fata de drepte de forma x = m, cu m∈R

Relatiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma , x +y = s si xy = p, cu s, p∈R

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

Monotonie,studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) − f (x2 ) sau prin rata cresterii/descresterii:[f (x1) − f (x2 )]/ (x1 - x2), x1, x2∈R , x1 ≠ x2 , punct de extrem (varful parabolei)

Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma  ax2 + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), a,b,c ∈R, a ≠0, studiate pe R, sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini şi preimagini ale unor intervale (proiectiile unor portiuni de parabola pe axe)

Pozitia relativa a unei drepte fata de o parabola:rezolvarea sistemelor de forma mx+n=y si ax2 + bx + c=y,
a, b, c, m, n ∈R

Rezolvarea sistemelor de forma a1x2 + b1x + c1=y si a2x2 + b2x + c2=y, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R, interpretare geometrica

Notiuni si rezultate suplimentare

Densitatea în R a mulţimilor Q si R \ Q  (orice interval deschis de numere reale contine atat numere iraţionale cat şi numere rationale). Teorema de densitate a lui Kronecker (daca a este irational, multimea valorilor sirului ({an)})n≥1, este densa in [0,1]). (ON)

Indicatorul lui Euler: φ(n) = numarul numerelor prime cu n, mai mici decat n; teorema lui Euler. (ON)



Sinteze partea intreaga si partea fractionara

Formule algebra clasa IX


Dictionar bilingv de termeni matematici


patrat perfect s. patratul unui numar intreg.

perfect square or square number n. an integer that is the square of another integer